Banner2021Pasica1

Jožefov problem

V času judovskega upora proti Rimljanom se je Jožef in 40 njegovih prijateljev v boju z Rimljani zateklo v jamo, od koder ni bilo rešitve. Da ne bi padli v roke sovražniku in postali sužnji, so se (podobno kot na gori Masada) odločili, da se ubijejo in to tako, da se postavijo v krog. V krogu je najprej moral prvi ubiti tretjega v vnaprej izbrani smeri, nato je meč podal naslednjemu (to je št. 4), ki je pokončal 6., nato je 7. pospravil prijatelja št. 9, itd... Legenda pravi, da je bil Jožef dober matematik (verjetneje pa, da je imel srečo) in je vedel, da se mora postaviti na 31. mesto, da preživi. Toda namesto, da bi uprizoril na koncu še samomor, se je raje predal Rimljanom, kasneje potem postal eden rimskih zgodovinarjev in med drugimi v svojih spisih  omenil tudi to zgodbo v tretji osebi...

Seznam "padlih za svobodo": 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 1, 5, 10, 14, 19, 23, 28, 32, 37, 41, 7, 13, 20, 26, 34, 40, 8, 17, 29, 38, 11, 25, 2, 22, 4, 35, 16. Številka  \(31\) pa je preživela.

Oreh:

Naj bo zdaj vseh \(n=100\), umrl pa naj bi vsak drugi (\(k=2\)).

Rešitev:  73. oseba bo ostala na koncu živa.

Razlaga: 
Oblikujmo tabelo od 1 do 100

  • Št. 1 ima meč, ubije naslednjo (št. 2) in meč poda naslednjemu (št.3)  (element 2 umaknemo iz tabele)
  • V prvem krogu tako vsak z mečem ubije svojega naslednika, kar pomeni, da iz tabele odstranimo vse sode elementem ostanejo preživeli lihi:

Krog 1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99 

Krog 2: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97
Krog 3: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97 
Krog 4: 9, 25, 41, 57, 73, 89,
Krog 5: 9, 41, 73 
Krog 6: 9, 73
Krog 7: 73

Seveda za dano rešitev obstajajo razne formule, vendar me je presenetila ugotovitev, kako je ta problem močno povezan z dvojiškim zapisom (če je \(k=2\)):

če število \(n=100\) zapišemo v dvojiškem sestavu, temu številu prvo enico prestavimo na konec števila, novo število \(f(n)\) pa zapišemo v desetiškem sestavu, dobimo mesto "zadnjega preživelega":\[n=100={1}100100, f(n)=100100{1}=73.\]

Ta metoda deluje za poljubni \(n,\) če je le \(k=2.\)

Ostaja še vprašanje, kako najlažje izračunati za poljubni \(k.\)

 

Poletni tabor za mlade

mepi

Posledica ljudske modrosti

Ljudska modrost pravi: čas je denar, znanje je moč:
čas = denar
znanje = moč
Po fizikalni formuli je

moč = delo / čas.
Če uporabimo gornje enakosti, dobimo enačbo znanje = delo / denar, kar preoblikujemo v denar = delo / znanje.
Analiza: Ko se znanje neomejeno kopiči, zaslužek konvergira k nuli glede na pravkar vloženo delo.

 

Moji strokovni članki

 Matematično teorijo imaš lahko popolno šele tedaj, ko jo napraviš tako razumljivo, da si upaš njeno vsebino pojasniti prvemu mimoidočemu...

Matematični problem mora biti dovolj težak, da nas privlači, in ne čisto nedostopen, da niso naši napori brezupni.Služiti mora kot smerokaz na za zapletenih poteh, ki vodijo k skritim resnicam, in nas nato nagraditi z veseljem ob najdeni rešitvi (D. Hilbert)

© 2015 MM